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viernes, 12 de septiembre de 2008

Niels Bohr

Despues de varios meses de inactividad, volví, y estoy seguro de que seré aclamado por la gran diversidad de lectores que se regocijan con mis escritos (ja!, ni yo me lo creo).
Pero hoy no tengo ganas de escribir, por lo que voy a dejarlos, nuevamente, en manos de Adrian Paenza.
La historia es muy buena, por lo que si llegaron hasta acá, intenten leerla, no se van a arrepentir.
Como dijo un sabio amigo mío (léase, Facu), sigo hablando en plural, como si millones de personas me leyeran. Lo más probable es que me lea a lo sumo una o una persona y media. Pero dicen por ahi que lo que vale es la inteción!!!

Saludos

Niels Bohr

La que sigue, es una historia que me acercó Juan Pablo Paz –uno de los científicos más prestigiosos que tiene la Argentina– y que está dando vuelta hace un tiempo en los medios académicos (y no académicos también). En todo caso, después de leerla verá que ni siquiera importa si es cierta, aunque los físicos aseguran que sí. Lo que seguro vale la pena es discutir su contenido. Y pensar.

Muchas veces, en un colegio o en alguna facultad, un alumno tiene una idea distinta, una idea que el profesor no contempló, no pensó. Una idea: ni más ni menos que eso. Y la reacción del docente no siempre es la esperable: pensar con el alumno, dejarse desafiar por alguien que piensa diferente, que propone un ángulo diferente.

Este capítulo entonces, está dedicado a la reflexión a la que invita la siguiente historia:

Sir Ernest Rutherford, presidente de la Sociedad Real Británica y Premio Nobel de Química en 1908, contaba la siguiente anécdota:

“Hace algún tiempo, recibí la llamada de un colega. Estaba a punto de ponerle un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física, pese a que éste afirmaba convencidísimo que su respuesta era absolutamente acertada.

“Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fui elegido yo.

“Leí la pregunta del examen y decía: ¿Qué haría usted para determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro?

“El estudiante había respondido: ‘Lleve el barómetro a la azotea del edificio y átale una cuerda muy larga. Descuélguelo hasta la base del edificio, marque y mida. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio’.

“Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta, correcta y completamente.

“Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de su año de estudios, obtener una nota más alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel.

“Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta, pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física.

“Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada.

“Le pregunté si deseaba marcharse, pero me contestó que tenía muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas.

“Me excusé por interrumpirlo y le rogué que continuara. En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta:

‘Agarre el barómetro y tírelo al suelo desde la azotea del edificio. Calcule el tiempo de caída con un cronómetro.

“Después se aplica la fórmula:

Altura = 0,5.g.T2

(Donde g es la aceleración de la gravedad y T es el tiempo que uno acaba de calcular con el cronómetro)

‘Y así obtenemos la altura del edificio.

“En este punto le pregunté a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le dio la nota más alta.”Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta.

‘Bueno’, respondió, ‘hay muchas maneras. Por ejemplo, agarrás el barómetro en un día soleado y medís la altura del barómetro y la longitud de su sombra.

“Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio.

“Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? ‘Sí, contestó, éste es un procedimiento muy básico para medir un edificio, pero también sirve. En este método, agarrás el barómetro y te situás en las escaleras del edificio en la planta baja. A medida que vas subiendo las escaleras, vas marcando la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicás al final la altura del barómetro por el número de marcas que hiciste y ya tenés la altura. Este es un método muy directo.

“Por supuesto, si lo que uno quiere es un procedimiento más sofisticado, puede atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Si calculamos que cuando el barómetro está a la altura de la azotea la gravedad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla formula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio.

“En este mismo estilo de sistema, atás el barómetro a una cuerda y lo descolgás desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo podés calcular la altura midiendo su período de precesión. En fin, concluyo, existen otras muchas maneras.

“Probablemente, la mejor sea tomar el barómetro y golpear con él la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle: señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo.

“En este momento de la conversación, le pregunté si no conocía la respuesta convencional al problema (la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares).

“Me dijo que sí, que evidentemente la conocía, pero que durante sus estudios, sus profesores habían intentado enseñarle a pensar.

“El estudiante se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922, más conocido por ser el primero en proponer el modelo de átomo con protones y neutrones y los electrones que lo rodeaban. Fue fundamentalmente un innovador de la teoría cuántica.

“Al margen del personaje, lo divertido y curioso de la anécdota, lo esencial de esta historia es que le habían enseñado a pensar”.

Extraido de Pagina 12. Contratapa

domingo, 10 de febrero de 2008

El Teorema de Pitágoras

Como todo estudiante de ingeniería, ciencias o, incluso, arte, profeso cierto amor por las matemáticas. Digo arte porque he llegado a considerar ciertas ramas de la matemática como verdaderas expresiones artísticas, aunque parezca algo extraordinario lo que acabo de escribir.

Invito a los lectores de este espacio a deleitarse con una extraordinaria demostración del famoso Teorema de Pitágoras redactado por el maestro Adrián Paenza. Observen la belleza o excelsitud que puede adquirir esta rama del pensamiento muchas veces tildada como fría o impura.

Sin más preámbulo, los dejo en buenas manos!!


El Teorema de Pitágoras

Por Adrián Paenza

Cuando uno habla de la belleza de la matemática, inexorablemente tiene que producir algo precioso que justifique el calificativo.

Lo que sigue es una de las demostraciones más espectaculares y atractivas del teorema de Pitágoras. Créame que si en el momento en que usted o yo nos tropezamos con Pitágoras por primera vez nos hubieran mostrado lo que sigue, no hubiéramos penado ni con el enunciado ni con su estética maravillosa. Es más: créame que ni siquiera hace falta que escriba el enunciado del teorema. Lo va a deducir usted sola/o. Anímese que vale la pena. Acá va la historia.

Hace muchos años, Carmen Sessa –extraordinaria referente en la Argentina en cualquier tema que tenga que ver con la didáctica de la matemática y en la forma de comunicarla– me acercó un sobre con varias demostraciones del teorema de Pitágoras. No recuerdo de dónde las había sacado, pero ella estaba entusiasmada al ver cuántas maneras distintas había de demostrar un mismo hecho. Tiempo después supe que hay un libro (The Pythagorean Proposition o “La proposición Pitagórica”) que contiene 367 pruebas de este teorema y que fue reeditado en 1968.

De todas formas, y volviendo a las pruebas que me había dado Carmen, hubo una que me dejó fascinado por su simplicidad. Es más: a partir de ese momento (última parte de la década del ’80) nunca paro de reproducirla cada vez que puedo. Y de disfrutarla. Ahora lo invito a que la comparta conmigo.

Usted no necesita saber nada. Bueno, casi nada. Hace falta que usted sepa lo que es un triángulo, un ángulo recto (de 90 grados) (como si fuera una escuadra) y que sepa que se llama triángulo rectángulo justamente a un triángulo que tiene un ángulo recto. Eso es todo.

Por último, si usted fuera a alquilar una pieza para vivir y le dijeran que es de 4 x 5, ¿podría contestar usted los metros cuadrados que ocupa? Estoy seguro de que sí (20, tiene razón) ¿Y cómo lo hizo? Lo dedujo multiplicando los dos números: 4 x 5. Bien. Eso es todo lo que hace falta. Bueno, acá voy.


Supongamos que se tiene un triángulo rectángulo que voy a llamar T, y a los lados los voy a llamar a, b y h (figura 1).

Imaginemos que el triángulo T está hecho “pegando” tres hilos. Supongamos que se le puede “cortar” el lado h, y que uno puede “estirar” los lados a y b.

Con este nuevo “lado”, de longitud (a+b), fabricamos dos cuadrados iguales. Cada lado del cuadrado mide (a+b).

Marcamos en cada cuadrado los lados a y b, de manera tal de poder dibujar estas figuras (figuras 2 y 3).

Ahora, observemos en cada cuadrado cuántas veces aparece el triángulo T (para lo cual hay que marcar en un dibujo los cuatro triángulos T en cada cuadrado).

Como los cuadrados son iguales, una vez que hemos descubierto los cuatro cuadrados en cada uno de ellos, la superficie que queda “libre” en cada uno tiene que ser la misma (figura 4).

En el primer cuadrado, quedan dos “cuadraditos” de superficies a2 y b2 respectivamente. Por otro lado, en el otro cuadrado, queda dibujado un “nuevo” cuadrado de área h2.

Conclusión: “tiene” que ser

a2 + b2 = h2

que es justamente lo que queríamos probar: “en todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

En este caso, los catetos son a y b, mientras que la hipotenusa es h.

¿No es una demostración preciosa? Es sólo producto de una idea maravillosa que no requiere ninguna herramienta complicada. Sólo sentido común.



Extraído de http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-88928-2007-07-31.html